止まった原子核に打ちこむ

1. Y から見る

   Y から見ると，X は近づいてきて，止まり，また離れていく。止まって見える瞬間（相対速度 0）が，いちばん近づく瞬間。

2. 地面から見ると，同じ速度

   相対速度が 0 とは，地面から見て 2 つが同じ速度 \(v\) で動いているということ。2 つともまだ止まっていない。

3. 運動量保存則

   はたらくのは互いの静電気力（作用・反作用）だけなので，運動量の和は変わらない。

   \(m_1v_0 = (m_1 + m_2)v\)

   \(v = \dfrac{m_1}{m_1 + m_2}v_0\)

1. いっしょに動くぶん

   いちばん近づく瞬間にも残る運動エネルギーに，\(v\) を入れる。\(K = \dfrac{1}{2}m_1v_0{}^2\) なので，

   \(\dfrac{1}{2}(m_1 + m_2)v^2 = \dfrac{m_1}{m_1 + m_2}K\)

   このぶんは，運動エネルギーのまま残り，位置エネルギーになれない（棒の斜線）。

2. 近づくのに使えるぶん

   位置エネルギーになれるのは残りの \(\dfrac{m_2}{m_1 + m_2}K\) だけ。これが \(r_0\) での位置エネルギーに届けば核反応が起こる。

   \(\dfrac{m_2}{m_1 + m_2}K = \dfrac{kZ_1Z_2e^2}{r_0}\)

3. \(K\) について解く

   \(K = \dfrac{m_1 + m_2}{m_2}\cdot\dfrac{kZ_1Z_2e^2}{r_0}\)

\({}^{1}_{1}\mathrm{H}\) を止まっている \({}^{7}_{3}\mathrm{Li}\) に打ちこむと，\(m_1 : m_2 = 1 : 7\) で，近づくのに使えるのは \(\dfrac{7}{8}\)。\(\dfrac{ke^2}{r_0} = 0.014\) MeV とすると，

\(K = 1\times3\times0.014\times\dfrac{8}{7} = 0.048\ \text{MeV}\)

逆に，Li を止まっている H に打ちこむと，使えるのは \(\dfrac{1}{8}\) だけで，

\(K = 3\times0.014\times8 \fallingdotseq 0.34\ \text{MeV}\)

要る位置エネルギーは同じなのに，必要な運動エネルギーは 7 倍。核反応を起こすには，軽いほうを打ちこむのが有利。