物理 > 動く解説 > 物理 第3編 波｜第1章 波の伝わり方
右へ進む波と左へ進む波を重ねると，その場で上下するだけの，進まない波（定在波）ができる。2 つとも進む波なのに，足すとなぜ進まないのだろうか。
図では，右端の壁で反射させて，左へ進む波 \(y_2\) を作っている（入射波 \(y_1\)・反射波 \(y_2\)・合成波 \(y_x\)）。
時刻 \(t\) が入るのは \(\sin\) だけ，位置 \(x\) が入るのは \(\cos\) だけ。形はその場で伸び縮みするだけなので，波は進まない。
なぜこう分かれるのか，式で確かめる。
2 つの波の式（解説①），和の公式（解説②），振幅と節（解説③）の順に見る。
正弦波の式で，\(x\) の前がひく。
\(y_1 = A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\)
\(x\) の前がたす。
\(y_2 = A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} + \dfrac{x}{\lambda}\right)\)
同じ点・同じ時刻の 2 つの変位を足す（重ね合わせの原理）。
\(y = y_1 + y_2\)
\(y_1\)，\(y_2\) の \(\sin\) の中を \(\alpha\)，\(\beta\) とすると，
\(\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\dfrac{\alpha - \beta}{2}\)
\(-\dfrac{x}{\lambda}\) と \(+\dfrac{x}{\lambda}\) が打ち消し合い，\(t\) だけが残る。
\(\dfrac{\alpha + \beta}{2} = \dfrac{2\pi t}{T}\)
\(\dfrac{t}{T}\) どうしが打ち消し合い，\(x\) だけが残る。\(\cos(-\theta) = \cos\theta\) なので，マイナスは外せる。
\(\dfrac{\alpha - \beta}{2} = -\dfrac{2\pi x}{\lambda}\)
\(y = A(\sin\alpha + \sin\beta)\) に入れると，
\(y = 2A\sin\dfrac{2\pi t}{T}\cos\dfrac{2\pi x}{\lambda}\)
どの点も，同じ周期 \(T\)・同じリズムで上下する（同時にいちばん高く，同時に 0）。
位置 \(x\) の点の振幅は，\(\cos\) の部分で決まる。
\(2A\left|\cos\dfrac{2\pi x}{\lambda}\right|\)
\(\dfrac{2\pi x}{\lambda} = \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2},\ \cdots\) の点，つまり \(x = \dfrac{\lambda}{4},\ \dfrac{3\lambda}{4},\ \cdots\) は，いつでも変位 0（節）。節と節の間は \(\dfrac{\lambda}{2}\)。
形はいつも \(\cos\) の形のまま，高さが \(\sin\) 倍に伸び縮みするだけ。山の位置も節の位置も動かない。
図では壁の位置を \(L = \lambda\) にしてあるので，節は \(x = \dfrac{L}{4}\)，\(\dfrac{3}{4}L\) の 2 点になる。
\(x = \dfrac{\lambda}{4}\) では，\(y_1\)，\(y_2\) の \(\sin\) の中は \(\theta - \dfrac{\pi}{2}\)，\(\theta + \dfrac{\pi}{2}\)（\(\theta = \dfrac{2\pi t}{T}\)）で，ちょうど \(\pi\) ずれる。2 つの変位はいつも逆向きで，打ち消し合う。
\(y_1 + y_2 = A\sin\left(\theta - \dfrac{\pi}{2}\right) + A\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{2}\right) = -A\cos\theta + A\cos\theta = 0\)
「進む波どうしを足せば，進む波になるはず」と思いがち。同じ向きに進む 2 つの波を足すと進む波のままだが，向かい合って進む 2 つの波では，\(t\) と \(x\) が別々の因子に分かれて，進まなくなる。
\(y = 2A\sin\dfrac{2\pi t}{T}\cos\dfrac{2\pi x}{\lambda}\)。時間だけの \(\sin\) と，位置だけの \(\cos\)。
\(\cos\) の部分が振幅。\(\cos = 0\) の点が節（いつでも 0）。形は伸び縮みするだけで，進まない。
原点 O の振動が速さ \(v\) で正の向きに伝わり，O から \(L\) の壁で同位相に（山が山のまま）反射するとき，点 \(x\) に届く入射波と反射波は，
\(y_1 = A\sin\dfrac{2\pi}{T}\left(t - \dfrac{x}{v}\right)\)
\(y_2 = A\sin\dfrac{2\pi}{T}\left(t - \dfrac{2L - x}{v}\right)\)
反射波の遅れは，O → 壁 → 点 \(x\) の道のり \(2L - x\) を進む時間。和の公式で，
\(y = 2A\sin\dfrac{2\pi}{T}\left(t - \dfrac{L}{v}\right)\cos\dfrac{2\pi(L - x)}{\lambda}\)
やはり時間だけの \(\sin\) と位置だけの \(\cos\) のかけ算。壁 \(x = L\) では \(\cos 0 = 1\) なので，壁は腹。節は壁から \(\dfrac{\lambda}{4}\)，\(\dfrac{3\lambda}{4}\)，… の所。
壁で山が谷になって返る（逆位相の反射）ときは，壁で 2 つの波の変位がいつも逆向きになり，打ち消し合う。壁は節になり，腹は壁から \(\dfrac{\lambda}{4}\) の所。どちらの反射でも，節と節の間（腹と腹の間）は \(\dfrac{\lambda}{2}\)。