式から周期と波長を読む

❓ 1. 疑問と結論

ひもを伝わる正弦波が，$y = 0.20\sin\pi(4.0t - 0.25x)$（単位は m，s）と表されている。$t$ の係数は $4.0$ だから，周期はその逆数の $0.25$ s でよいだろうか。

$\pi(4.0t - 0.25x) = 2\pi\left(2.0t - \dfrac{1}{8}x\right)$

正弦波の式 $y = A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)$ とくらべて，$T = 0.50$ s，$\lambda = 8.0$ m。周期は $0.25$ s ではない。

なぜ $\pi$ のままくらべてはいけないのか，原点の振動で確かめる。

$\pi$ のままだと何が起きるか（解説①），$2\pi$ でくくった読み方（解説②）の順に見る。

原点の振動

$x = 0$ を入れると，原点の媒質の振動になる。

$y = 0.20\sin 4.0\pi t$
$0.25$ s では，角は $\pi$

$4.0\pi \times 0.25 = \pi$

グラフは山を 1 つ越えて 0 に戻っただけで，いまは下向きに動いている。まだ半周期。
角が $2\pi$ 進んで 1 回の振動

$\sin$ は，中の角が $2\pi$ 進むと，もとの動きに戻る。

$4.0\pi \times 0.50 = 2\pi$

だから周期は $0.50$ s。

$2\pi$ でくくる

前を $2\pi$ にしたぶん，かっこの中を 2 でわる。$0.25 = \dfrac{1}{4}$ の半分は $\dfrac{1}{8}$。

$$ \pi(4.0t - 0.25x) $$ $$ {}= 2\pi\left(2.0t - \frac{1}{8}x\right) $$
$t$ の係数が $\dfrac{1}{T}$

$\dfrac{1}{T} = 2.0$　→　$T = 0.50$ s
$x$ の係数が $\dfrac{1}{\lambda}$

分数のまま進めると，逆数の 8 がすぐ見える。

$\dfrac{1}{\lambda} = \dfrac{1}{8}$　→　$\lambda = 8.0$ m
$\pi$ のままだと，半波長

$\dfrac{1}{0.25} = 4.0$ m は，山から谷までの半波長。

式を $y = A\sin(\omega t - kx)$ と見ると，$\omega = \dfrac{2\pi}{T}$，$k = \dfrac{2\pi}{\lambda}$。この波では $\omega = 4.0\pi$，$k = 0.25\pi$ なので，

$T = \dfrac{2\pi}{4.0\pi} = 0.50$ s，$\lambda = \dfrac{2\pi}{0.25\pi} = 8.0$ m

$2\pi$ でくくって読んだ値と同じになる。どちらも「$\sin$ は角が $2\pi$ 進むと 1 回」を使っている。

⚠️ つまずき

$\pi$ でくくったままくらべる。$\dfrac{1}{T} = 4.0$ で $0.25$ s（半周期），$\dfrac{1}{\lambda} = 0.25$ で $4.0$ m（半波長）。周期も波長もちょうど半分になる。

$2\pi$ でくくったあとの 2.0 を，そのまま周期にする。2.0 は $\dfrac{1}{T}$，つまり振動数 $f$〔Hz〕。周期はその逆数。

🟢 $2\pi$ でくくってから

正弦波の式は $\sin$ の中を $2\pi$ でくくった形。$t$ の係数が $\dfrac{1}{T}$，$x$ の係数が $\dfrac{1}{\lambda}$。
🟠 $\pi$ のままだと半分

$0.25$ s は半周期，$4.0$ m は半波長。角が $\pi$ 進むのは，1 回の振動の半分だから。

$y = 0.20\sin\pi(4.0t + 0.25x)$ も，$2\pi$ でくくると $2\pi\left(2.0t + \dfrac{1}{8}x\right)$。周期と波長は同じ（$0.50$ s，$8.0$ m）。

$t$ の項と $x$ の項の符号が同じなので，負の向きに進む波（$y = A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} + \dfrac{x}{\lambda}\right)$ の形）。速さは波の基本式で，

$v = f\lambda = 2.0 \times 8.0 = 16$ m/s

正の向きを正とした速度は $-16$ m/s。図の橙の山は，$0.10$ s で左へ $1.6$ m 動く。

$y = A\sin\pi(at - bx)$（$a$，$b$ は正の定数）なら，$\pi(at - bx) = 2\pi\left(\dfrac{a}{2}t - \dfrac{b}{2}x\right)$ なので，

$T = \dfrac{2}{a}$，$\lambda = \dfrac{2}{b}$

$\pi$ のままくらべた $\dfrac{1}{a}$，$\dfrac{1}{b}$ は，どちらもちょうど半分。数値でも文字でも，まず $2\pi$ の形にそろえる。