重いほうが速くすべる？

❓ 1. 疑問と結論

なめらかな斜面に質量 \(m\) の物体を置いて，静かに手をはなす。もっと重い物体にしたら，すべり落ちる加速度は大きくなるだろうか。

\(a = g\sin\theta\)

💡

運動方程式……\(ma = F\)（合力）。両辺に質量 \(m\) が出てくる式では，\(m\) が約分で消えることがある。消えたら「質量によらない」

なぜ質量が消えるのか。沿う向きの力を数えて，運動方程式を立てるところから見る。

沿う向きの力を数える（解説①），運動方程式を立てる（解説②），重さを変えて確かめる（解説③）の順に見る。

重力を斜面の向きに分ける

沿う成分 \(= mg\sin\theta\)，垂直な成分 \(= mg\cos\theta\)
垂直抗力は沿う向きの成分をもたない

\(N\) は面に垂直なので，沿う向きには 0。斜面に垂直な向きでは \(N = mg\cos\theta\) とつりあう。
なめらかなので摩擦も 0

沿う向きにはたらく力は，\(mg\sin\theta\) だけ。

\(a = g\sin\theta\)

なめらかな斜面では，加速度は傾きだけで決まる。
端の値で確かめる

\(\theta = 0^\circ\) なら \(a = 0\)（水平な床では動き出さない）。\(\theta = 90^\circ\) なら \(a = g\)（自由落下）。

あらい斜面では，沿う向きに動摩擦力 \(\mu' N = \mu' mg\cos\theta\) が上向きにはたらく。

\(ma = mg\sin\theta - \mu' mg\cos\theta\)　→　\(a = g(\sin\theta - \mu'\cos\theta)\)

摩擦力も質量に比例するので，ここでも \(m\) は消える。あらい斜面でも，加速度は質量によらない。消えないのは，空気抵抗のように「質量に比例しない力」があるとき。

糸でつないだ 2 物体が同じ斜面をすべるときは，2 つをまとめて 1 つとみてよい（糸の張力は内力）。全体の質量を \(M\) とすると \(Ma = Mg\sin\theta\) で，やはり \(a = g\sin\theta\)。

💡 もう一歩：斜面の長さ \(l\) をすべり下りる時間

静止から等加速度で \(l\) すべるので \(l = \dfrac{1}{2}at^2\)。\(a = g\sin\theta\) を入れると \(t = \sqrt{\dfrac{2l}{g\sin\theta}}\)。ここにも質量は入らない。