陽電子と電子の対消滅

1. 消える前

   電子と陽電子はとてもゆっくり（運動エネルギーは無視できる）なので，消える前の運動量の和は 0 とみなせる。

2. 光子も運動量をもつ

   \(\gamma\) 線は波長のとても短い電磁波で，光子 1 個は運動量をもつ。向きは \(\gamma\) 線の進む向き。

3. 運動量は保存される

   消える前と後で運動量の和は変わらないので，2 本の \(\gamma\) 線の運動量の和も 0。

1. 和が 0 ＝ 戻ってくる

   2 本の運動量の矢印を，1 本目の先に 2 本目の根元をつなぐ。和が 0 なら，2 本目の先ははじめの点に戻る。

2. 戻るのは真反対・同じ長さのときだけ

   向きが少しでもずれたり，長さがちがったりすると，はじめの点には戻らない。だから 2 本はちょうど反対の向きで，同じ大きさ。

▶ 再生で，矢印をつないだり戻したりする。

1. 光子の運動量

   \(p = \dfrac{h}{\lambda}\)

   \(h\) はプランク定数，\(\lambda\) は波長。

2. 波長を振動数で書きかえる

   波の基本式 \(c = \nu\lambda\) より \(\lambda = \dfrac{c}{\nu}\)。代入すると，

   \(p = \dfrac{h\nu}{c}\)

3. エネルギーで書く

   光子のエネルギーは \(E = h\nu\) なので，

   \(p = \dfrac{E}{c}\)

   運動量はエネルギーに比例する。2 本の運動量の大きさが同じなので，エネルギーも同じ。

1. 消えた質量のエネルギー

   質量 \(m\) に相当するエネルギーは \(E = mc^2\)。消えたのは電子と陽電子で，質量は \(2m\)。

   \(2mc^2 = 1.02\ \text{MeV}\)

2. 半分ずつ

   2 本のエネルギーは同じなので，1 本は半分。

   \(mc^2 = 0.51\ \text{MeV}\)

   電子 1 個の質量のエネルギーと同じ。何本に分かれても，和は 1.02 MeV のまま。

まれに \(\gamma\) 線が 3 本出る。\(\gamma_1\) が \(x\) 軸の負の向き，\(\gamma_2\) が \(y\) 軸の負の向き，\(\gamma_3\) が \(x\) 軸と 45° の向きに出たとき，運動量の大きさを \(p_1\)，\(p_2\)，\(p_3\) とする。

1. 成分ごとに和が 0

   \(x\)：\(0 = p_3\cos45^\circ - p_1\)

   \(y\)：\(0 = p_3\sin45^\circ - p_2\)

2. 比は \(1 : 1 : \sqrt{2}\)

   \(p_1 = p_2 = \dfrac{p_3}{\sqrt{2}}\)

   3 本の矢印をつなぐと，閉じた直角二等辺三角形になる。エネルギーも運動量に比例するので，\(E_1 : E_2 : E_3 = 1 : 1 : \sqrt{2}\)。

和は 2 本のときと同じ 1.02 MeV。\(E_2 = E_1\)，\(E_3 = \sqrt{2}\,E_1\) なので，

\(E_1 + E_1 + \sqrt{2}\,E_1 = 1.02\ \text{MeV}\)

\(E_1 = \dfrac{1.02}{2 + \sqrt{2}} \fallingdotseq 0.30\ \text{MeV}\)

\(E_3\) は約 0.42 MeV。3 等分（0.34 MeV ずつ）ではない。