物理 > 動く解説 > 物理 第5編 原子｜第2章 原子と原子核
水素原子の電子が外側の軌道から内側の軌道へ移る（落ちる）と，光を出す。その光を波長ごとに分けると，とびとびの線が並ぶ。
光子 1 個のエネルギー \(h\nu\) は，移る前と後のエネルギー準位の差（落差）。落差が大きいほど振動数 \(\nu\) は大きく，波長は短い。
なぜ外側からほど短いのか。準位の図で，落差を矢印の長さとして見る。
光子 1 個のエネルギーが落差になること（解説①），落差が大きいほど波長が短いこと（解説②）の順に見る。
電子のエネルギーは，軌道ごとに決まった値（エネルギー準位）をとる。外側の軌道ほど高い（\(0\) に近い）。
電子が \(n = 3\) から \(n = 2\) へ落ちると，エネルギーは \(E_3 - E_2\) だけ減る。その分を光子 1 個がもって出ていく。
\(h\nu = E_3 - E_2\)
\(= \left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{9}\right)E_0 = \dfrac{5}{36}E_0\)
同じ \(n = 2\) へ落ちるなら，外側の準位ほど高いので，落差は大きい。
\(E_3 - E_2 < E_4 - E_2 < E_5 - E_2\)
波の基本式 \(c = \nu\lambda\) より \(\nu = \dfrac{c}{\lambda}\)。これを入れると，
\(E = h\nu = \dfrac{hc}{\lambda}\)
\(h\) と \(c\) は決まった値なので，\(E\) が大きいほど \(\lambda\) は短い。3 からは赤，4 からは青緑，5 からは青紫と，外側から落ちるほど波長の短い線になる。
\(\lambda = \dfrac{hc}{E}\) なので，2 本の線の波長の比は，落差の逆の比になる。
\(\dfrac{\lambda_{4 \to 2}}{\lambda_{3 \to 2}} = \dfrac{E_3 - E_2}{E_4 - E_2}\)
\(= \dfrac{5}{36} \div \dfrac{3}{16} = \dfrac{20}{27}\)
3→2 の \(6.56 \times 10^{-7}\) m に \(\dfrac{20}{27}\) をかけると，
\(\lambda_{4 \to 2} \fallingdotseq 4.86 \times 10^{-7}\) m
図の青緑の線と同じ。
「外側から落ちるほど短い」は，落ちる先が同じ（\(n = 2\)）ときの話。\(4 \to 3\) のように落ちる先がちがうと，落差 \(E_4 - E_3 = \dfrac{7}{144}E_0\) は \(3 \to 2\) の \(\dfrac{5}{36}E_0\) より小さく，波長は長い（約 \(1.87 \times 10^{-6}\) m の赤外線）。決めるのは「どこから」ではなく落差の大きさ。
移る前と後の準位の落差：\(h\nu = E_n - E_2\)
\(E = \dfrac{hc}{\lambda}\) なので，落差が大きいほど振動数は大きく，波長は短い。
6 から落ちると \(4.10 \times 10^{-7}\) m の紫の線。\(n\) を大きくすると準位は \(0\) に詰まっていくので，落差は \(E_\infty - E_2 = \dfrac{E_0}{4}\) に近づくが，それより大きくはならない。
\(\dfrac{\lambda_\infty}{\lambda_{3 \to 2}} = \dfrac{5}{36} \div \dfrac{1}{4} = \dfrac{5}{9}\)
だから線は短いほうへ詰まっていき，限界の波長より短くならない。
\(\lambda_\infty \fallingdotseq 3.64 \times 10^{-7}\) m（紫外線）
落ちる先が \(n' = 1\) ならライマン系列（落差が大きく紫外線），\(n' = 2\) ならバルマー系列（可視光），\(n' = 3\) ならパッシェン系列（赤外線）。どの系列でも，\(\dfrac{hc}{\lambda} = E_n - E_{n'}\) を \(hc\) でわった形で波長が決まる。
\(R = \dfrac{E_0}{hc} \fallingdotseq 1.10 \times 10^{7}\) /m（リュードベリ定数）。\(n\) が大きいほど \(\dfrac{1}{\lambda}\) は大きく（波長は短く）なり，\(n \to \infty\) の \(\dfrac{R}{n'^2}\) が系列の限界になる。