物理 > 動く解説 > 物理 第3編 波｜第2章 音の伝わり方
原点 O に，振動数 \(f\) の音を出し続ける音源を置く。風が無いときの音速を \(V\) とする。ここに，\(x\) 軸の正の向きへ 速さ \(w\)（\(w < V\)）の一様な風が吹く。音源も，聞く人も止まったままのとき，風下（右）と風上（左）で聞こえる 音の高さは，風が無いときとくらべてどうなるだろうか。
上の図は，音の山を円のまま描いた図。下の図は，左右へ進む山だけを取り出した図で，1 秒に届く山の数を数えられる。「1 秒の山を数える」を押してみよう。
\(\Delta X_\mathrm{A}\) は風下での波面と波面の間隔，\(\Delta X_\mathrm{B}\) は風上での間隔。 風下では間隔が広がるが山の列も速く来る，風上では間隔がせまいが山の列もおそく来る。 2 つの変化がちょうど打ち消し合う。
なぜそうなるのか，順に見ていく。
① 風があると波面はどうなるか → ② 風下の間隔と速さ → ③ 風上の間隔と速さ → ④ 届く時刻を並べる，の順に見る。
音の山は，空気に対してはどの向きにも同じ速さ \(V\) で広がる。その空気全体が，速さ \(w\) で \(x\) の正の向きへ運ばれる。
時刻 0 に O から出た山は，時刻 \(t\) には中心 \((wt,\ 0)\)・半径 \(Vt\) の円になる（形は円のまま）。
\((X-wt)^2+Y^2=(Vt)^2\)
円が \(x\) 軸と交わる所は，中心 \(\pm\) 半径で
\(X_\mathrm{A}=wt+Vt=(V+w)t\)，\(\quad X_\mathrm{B}=wt-Vt=-(V-w)t\)
つまり，地面から見ると音は風下へは \(V+w\)，風上へは \(V-w\) で進む。
波面 2 は時刻 \(\dfrac1f\) に O から出た山なので，時刻 \(t\) には 中心 \(\Bigl(w\bigl(t-\dfrac1f\bigr),\ 0\Bigr)\)・半径 \(V\bigl(t-\dfrac1f\bigr)\) の円。 その右端は \((V+w)\bigl(t-\dfrac1f\bigr)\)。
\(\Delta X_\mathrm{A}=(V+w)t-(V+w)\Bigl(t-\dfrac1f\Bigr)=\dfrac{V+w}{f}\)
風が無いときの \(\dfrac{V}{f}\) より広い（\(\dfrac{V+w}{V}\) 倍）。
この山の列は，地面に対して速さ \(V+w\) で \(x\) の正の向きへ進む（①の \(X_\mathrm{A}\) を時刻で見た変化）。 止まっている人の所を 1 秒に通る山の数は，
\(f_1=\dfrac{V+w}{\Delta X_\mathrm{A}}=\dfrac{V+w}{(V+w)/f}=f\)
間隔が \(\dfrac{V+w}{V}\) 倍になり，速さも同じ \(\dfrac{V+w}{V}\) 倍なので，割り算で消える。
同じ計算を左端でする。波面 1 の左端は \(-(V-w)t\)，波面 2 の左端は \(-(V-w)\bigl(t-\dfrac1f\bigr)\) なので，
風が無いときの \(\dfrac{V}{f}\) よりせまい（\(\dfrac{V-w}{V}\) 倍）。山の列は \(x\) の負の向きへ速さ \(V-w\) で進むので，
\(f_2=\dfrac{V-w}{\Delta X_\mathrm{B}}=\dfrac{V-w}{(V-w)/f}=f\)
こちらも，せまくなった割合とおそくなった割合が同じで打ち消し合う。
山が 1 つ届くたびに印を付けていくと，風下でも風上でも印は \(\dfrac1f\) おきに並ぶ。 上の図の下にある帯（「山が届いた時刻」）で，時刻のスライダーを動かすと印が増えていく。 \(x > 0\) の行と \(x < 0\) の行で，印の間が同じであることが見てとれる。
これは当たり前でもある。音源は \(\dfrac1f\) おきに山を出し，つづけて出た 2 つの山は同じ道を同じ速さで進むので， 届く時刻の差も \(\dfrac1f\) のまま変わらない。音源と聞く人の距離が変わらなければ，途中で何があっても山の数は減りも増えもしない——これが 「振動数が変わらない」の本質。
「風下は間隔が広い ＝ 波長が長い ＝ 低い音」は間違い。音の高さを決めるのは波長ではなく振動数で， 振動数は「山の間隔分の山の速さ」。波長を変えた風は，同じ割合で速さも変えている。 波長だけを見て高さを言えるのは，波の速さが変わらないときだけ。
間隔 \(\dfrac{V+w}{f}\)・速さ \(V+w\) → \(f_1=f\)。
間隔 \(\dfrac{V-w}{f}\)・速さ \(V-w\) → \(f_2=f\)。
風の向きと直角な方向でも同じことが起きる。波面 1 と \(y\) 軸の交点 C は，円の式に \(X=0\) を入れて
\((wt)^2+Y^2=(Vt)^2\) → \(Y_\mathrm{C}=t\sqrt{V^2-w^2}\)
斜辺 \(Vt\)・底辺 \(wt\) の直角三角形の高さ，と読める。波面 2 では \(t\) を \(t-\dfrac1f\) に替えるだけなので，
\(\Delta Y=\dfrac{\sqrt{V^2-w^2}}{f}\)
山の列が \(y\) 軸の上を進む速さは \(\sqrt{V^2-w^2}\)（\(Y_\mathrm{C}\) の 1 秒あたりの変化）なので，
\(f_3=\dfrac{\sqrt{V^2-w^2}}{\Delta Y}=f\)
真横では，間隔も速さも \(\dfrac{\sqrt{V^2-w^2}}{V}\) 倍（どちらも 1 より小さい）になり，やはり打ち消し合う。
作った式は風を止めて確かめるのが速い。\(w=0\) を入れると \(\Delta X_\mathrm{A}=\Delta X_\mathrm{B}=\Delta Y=\dfrac{V}{f}\)（＝波長 \(\lambda\)），速さはどれも \(V\) —— 風が無いときの同心円に戻る。
振動数が変わらなかったのは，聞く人が止まっていたから。聞く人が動くと，山の列に対する相対速度の大きさが変わるので振動数も変わる。 風下の \(x\) 軸上を，O から離れる向きに速さ \(u\)（\(u < V+w\)）で動くときは，山に追いかけられる形になって
\(f_4=\dfrac{(V+w)-u}{\Delta X_\mathrm{A}}=\dfrac{V+w-u}{V+w}\,f\)
\(y\) 軸の上を O に向かって速さ \(u\) で動くときは，山に向かっていく形なので
\(f_5=\dfrac{\sqrt{V^2-w^2}+u}{\Delta Y}=\Bigl(1+\dfrac{u}{\sqrt{V^2-w^2}}\Bigr)f\)
\(w=0\) とすれば \(f_4=\dfrac{V-u}{V}f\)・\(f_5=\dfrac{V+u}{V}f\) で，教科書どおりの「観測者が動くドップラー効果」になる。 風の役目は，山の間隔と山の速さを同じ割合で変えることだけなので，\(V\) を「その向きに山が進む速さ」に置きかえれば， いつものドップラー効果の式がそのまま使える。
媒質（空気）ごと流れるので，地面から見た波長も波の速さも \(\dfrac{V\pm w}{V}\) 倍になる。 割り算で消えるので，止まって聞くかぎり振動数は変わらない。
媒質は止まったままなので波の速さは \(V\) のまま。前方で波長がつまり，\(\lambda'=\dfrac{V-v_\text{源}}{f}\) になる。 速さが変わらないぶんが残るので，振動数が上がる。
波長は変わらず，山に対する近づき方・離れ方が変わる。だから \(f'=\dfrac{V\pm u}{\lambda}\)。