名古屋大：動く台から打ち出す

1. 台の上に乗って見る

   カメラが台といっしょに動く（床の目盛りが流れる）。台は止まって見え，小球は斜面にそって進む。

2. 床に立って見る

   台が左へ動いていくので，小球は斜面より急な線の上を進む。「台の上から見る」「床から見る」のボタンで切り替えられる。

1. 短い時間の動きを 2 つに分ける

   小球が斜面にそって進む（緑）。同じあいだに台が左へ動いて，小球もいっしょに運ばれる（青）。

2. 合わせると，床から見た動き

   2 本を合わせた橙の矢印が床から見た動き。縦の長さは同じで，横だけが台の動きのぶん短い。だから向きは急になる。

この図の \(v_x\) は下の \(V_{2x}\)，\(v_y\) は \(V_{2y}\)，\(V\) は \(V_3\) と同じ量（下の図は問題の文字で書いてある）。

1. 水平方向には外力がない

   台と小球をひとまとめに見ると，外から受ける力は重力と垂直抗力で，どちらも鉛直。床はなめらかなので摩擦もない。

2. ばねの力は内力

   ばねが小球を押す力と，その反作用で台が押される力は，系の中ではたらく力（内力）。和は 0 で，全体の運動量を変えない。

3. 水平方向の運動量は保存

   はじめは止まっているので和は 0 のまま。小球が右へ \(V_{2x}\)，台が左へ \(V_3\) で動くとして，

   \(mV_{2x} = MV_3\)

1. 台から見た速度の向き

   小球は斜面にそってすべるので，台から見た速度は斜面の向き（角 \(\phi\)）。

2. 水平成分をつなぐ

   台は左へ \(V_3\) で動いているので，台から見た速度の水平成分は \(V_{2x} + V_3\)。鉛直成分は，台が水平にしか動かないので \(V_{2y}\) のまま。

3. 斜面の角を速度で表す

   \(\tan\phi = \dfrac{V_{2y}}{V_{2x} + V_3}\)

1. 鉛直は変わらない・水平だけ小さい

   台は水平にしか動かないので，鉛直の速さは床から見ても台から見ても同じ \(V_{2y}\)。水平の速さだけが，台の速さ \(V_3\) のぶん小さい。

   \(\tan\phi' = \dfrac{V_{2y}}{V_{2x}}\)

2. 分母だけが小さい

   \(\tan\phi\) とくらべると，分子は同じで分母だけが \(V_3\) だけ小さい。だから \(\tan\phi' > \tan\phi\)。 \(0^\circ < \phi,\ \phi' < 90^\circ\) では \(\tan\) は大きくなる一方なので，\(\phi' > \phi\)。

3. 質量の比で表す

   ① の \(mV_{2x} = MV_3\) から \(V_3 = \dfrac{m}{M}V_{2x}\)。これを \(\tan\phi\) の式に入れると，

   \(\tan\phi = \dfrac{V_{2y}}{\left(1 + \dfrac{m}{M}\right)V_{2x}} = \dfrac{\tan\phi'}{1 + \dfrac{m}{M}}\)

ばねがたくわえたエネルギーは，小球だけでなく台にも分かれる。台を固定したときの速さを \(V_1\) とすると，

\(\dfrac{1}{2}mV_2{}^2 + \dfrac{1}{2}MV_3{}^2 = \dfrac{1}{2}mV_1{}^2\)

だから，床から見た小球の速さ \(V_2\) は \(V_1\) より小さい。向きは急になるが，速さは落ちる。

いっぽう台から見た速さは \(V_1\) より大きくなる（台がいっしょに動くぶん，斜面にそった動かしにくさが小さくなるため）。 鉛直の速さ \(V_{2y}\) も，固定したときより少し大きい。