物理 > 動く解説 > 物理 第1編 力と運動｜第3章 運動量の保存
なめらかな面の上で，止まっている質量 \(m_2\) の小球 2 に，質量 \(m_1\) の小球 1 が速さ \(v\) で当たる（反発係数 \(e\)）。 ぶつかると力学的エネルギーの一部が失われる。では，ぶつかり方しだいで，エネルギーはぜんぶ失えるのだろうか。
\(E_1 = \dfrac{1}{2}m_1v^2\) は，ぶつかる直前の小球 1 の運動エネルギー。 \(\dfrac{m_2}{m_1+m_2} \lt 1\) で，さらに \((1-e^2) \le 1\) なので，\(\Delta E\) は \(E_1\) より必ず小さい。 どんなぶつかり方をしても，運動エネルギーをぜんぶ失うことはできない。
なぜそう分けられるのか，そしてなぜ \((1-e^2)\) 倍なのかを順に見ていく。
① 運動量が変わらない → 重心の速さも変わらない → ② \(E_1\) を 2 つに分ける → ③ 相対運動のぶんが \(e^2\) 倍になる，の順に見る。
2 つの小球をひとまとめに見ると，外から受ける力は重力と垂直抗力で，どちらも水平の成分をもたない。 ぶつかるときに互いにおよぼし合う力は内力で，和は 0。
衝突のあと，小球 1 が左へ速さ \(v_1\)，小球 2 が右へ速さ \(v_2\) で動くとすると，右向きを正として
\(m_1v = -m_1v_1 + m_2v_2\)
重心の速さは「全運動量 ÷ 全質量」なので，
\(V = \dfrac{m_1v}{m_1+m_2}\)
全運動量が変わらないなら，\(V\) も衝突の前後で同じ。
2 つがくっついても（\(e = 0\)）止まらず，重心といっしょに速さ \(V\) で進み続ける。この「2 つが重心といっしょに動く運動エネルギー」が重心運動のぶん。\(V = \dfrac{m_1v}{m_1+m_2}\) を入れると，
\(\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V^2 = \dfrac{m_1}{m_1+m_2}E_1\)
\(E_1\) から引けば，
\(E_1 - \dfrac{m_1}{m_1+m_2}E_1 = \dfrac{m_2}{m_1+m_2}E_1\)
これは「重心といっしょに動いて見たときに見える，2 つの動きの運動エネルギーの和」と同じ値になる。重心から見ると 2 つは重心に向かって近づき，くっつくと止まって見える＝このぶんがすべて消える。
① で見たとおり \(V\) は衝突で変わらないので，重心運動のぶんは衝突の前後で同じ。 減らせるのは相対運動のぶんだけ。
遠ざかる速さは，近づく速さの \(e\) 倍。近づく速さは \(v\)，遠ざかる速さは \(v_1+v_2\) なので，
\(v_1 + v_2 = e\,v\)
相対運動のぶんは \(\dfrac{1}{2}\mu v_{\text{rel}}{}^2\)（\(\mu = \dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}\) は換算質量）の形に書ける。 \(v_{\text{rel}}\) が \(e\) 倍になるので，このぶんは \(e^2\) 倍になる。
相対運動のぶん \(\dfrac{m_2}{m_1+m_2}E_1\) にかけて，
\(\Delta E = (1-e^2)\cdot\dfrac{m_2}{m_1+m_2}E_1 = E_1(1-e^2)\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\)
「反発係数を小さくすれば，運動エネルギーはいくらでも失える」は勘違い。 運動量が保存するかぎり重心の速さは変わらないので，重心運動のぶん \(\dfrac{m_1}{m_1+m_2}E_1\) は必ず残る。 \(e = 0\)（合体する衝突）でも，失えるのは相対運動のぶんの全部までで，それ以上は失えない。
合わせた運動量が変わらない＝重心の速さが変わらないので，重心運動のぶんは失えない。
相対運動のぶんの \((1-e^2)\) 倍。式にすると \(\Delta E = E_1(1-e^2)\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\)。
ここまでは小球 2 が止まっている場合で見たが，2 つとも動いていても話は同じ。 衝突の前の速度を \(u_1\)・\(u_2\) とすると，失う力学的エネルギーは
\(u_2 = 0\) を入れると \(\dfrac{1}{2}\mu(1-e^2)u_1{}^2 = E_1(1-e^2)\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\) となり，上の式に戻る。 失うぶんを決めているのは，近づく速さ（相対速度）だけで，重心がどれだけ速く動いているかは関係しない。
作った式が正しいかは，極端な場合で見るのが速い。\(e = 1\)（弾性衝突）なら \(\Delta E = 0\)， \(u_1 = u_2\)（追いつかない）なら \(\Delta E = 0\)——どちらも「ぶつからない・こすれない」場面と合う。
\(e = 0\) は，ぶつかったあと 2 つが離れない（合体する）衝突。このとき 2 つは重心の速さ \(V\) でいっしょに動くので， 残る運動エネルギーは
\(\dfrac{1}{2}(m_1+m_2)V^2 = \dfrac{m_1}{m_1+m_2}E_1\)
ちょうど重心運動のぶんだけが残る。\(e = 0\) は「失えるだけ失った」状態で，これが限界。 \(m_2\) が \(m_1\) よりずっと大きいとき（\(\dfrac{m_2}{m_1+m_2} \fallingdotseq 1\)）は，\(E_1\) のほとんどを失えるが，それでもわずかに残る。
いちいち \(v_1\)・\(v_2\) を出して引き算しなくても，「相対運動のぶん × \((1-e^2)\)」で一気に出せる。 検算にも使える（出した \(v_1\)・\(v_2\) から計算した値と合うか）。
重心の立場から見ると，2 つはいつも逆向きに同じ大きさの運動量で動いていて，衝突で速さがそろって \(e\) 倍になるだけ。 ばねでつないだ 2 物体・分裂・合体など，2 体の問題はこの見方でぐっと短くなる。