物理 > 動く解説 > 物理 第4編 電気と磁気｜第1章 電場
面積 \(S\)，間隔 \(d\) の 2 枚の極板を電圧 \(V\) の電源につなぐ。そのあいだに，厚さが間隔の半分 \(\dfrac{d}{2}\)・比誘電率 4 の誘電体を， 極板と平行に，重なる所が極板の半分ほどになるまで差しこむ。このコンデンサーの電気容量はいくつだろうか。
\(C_1\) は誘電体と重なる所の容量，\(C_0\) は重ならない所（あいだが真空）の容量。\(C_a\) は誘電体の層，\(C_b\) は真空の層の容量。 切り分けてしまえば，どの部分も基本の形 \(C=\varepsilon\dfrac{S}{d}\) だけで出せる。
なぜその切り分けでよいのか，順に見ていく。
① たてに切って面積を分ける（並列）→ ② 重なる所をよこに切って厚さを分ける（直列）→ ③ まとめて足す，の順に見る。
誘電体と重なる所（面積 \(S_1\)）と，重ならない所（面積 \(S-S_1\)。あいだは真空のまま）に分かれる。
2 つの部分は同じ 2 枚の極板につながっている。極板は導体なので，どちらの部分の極板間にも，電源の電圧 \(V\) がそのままかかる。
たまる電気量は \(Q=C_1V+C_0V=(C_1+C_0)V\)。全体を 1 つのコンデンサーと見たときの容量は，
\(C = C_1 + C_0\)
重なる所をよこに切ると，厚さ \(\dfrac{d}{2}\) の誘電体の層と，厚さ \(\dfrac{d}{2}\) の真空の層が上下に重なっている。
切れ目に導線でつないだ 2 枚の極板をはさんだと考えると，この 2 枚はほかとつながっていないので電気量の合計は 0 のまま。だから，極板にたまった電気量 \(Q\) を，どちらの層も同じだけ受け持つ （コンデンサーを 2 つ直列につないだときと同じ）。電圧のほうが \(V_a+V_b=V\) と分かれる。
\(C_a = \dfrac{4\varepsilon_0 S_1}{d/2} = \dfrac{8\varepsilon_0 S_1}{d}\)，\(\quad C_b = \dfrac{\varepsilon_0 S_1}{d/2} = \dfrac{2\varepsilon_0 S_1}{d}\)
直列なので逆数を足して，
\(\dfrac{1}{C_1} = \dfrac{d}{8\varepsilon_0 S_1} + \dfrac{d}{2\varepsilon_0 S_1} = \dfrac{5d}{8\varepsilon_0 S_1}\) → \(C_1 = \dfrac{8\varepsilon_0 S_1}{5d}\)
重ならない所は真空だけなので \(C_0 = \dfrac{\varepsilon_0 (S-S_1)}{d}\)。①の並列の式に入れて，
誘電体が入っている所だけ，単位面積あたりの容量が \(\dfrac{8}{5}\) 倍になっている，と読める。 誘電体を全部抜けば \(S_1=0\) で \(C=\varepsilon_0\dfrac{S}{d}\)，全面を覆えば \(S_1=S\) で \(C=\dfrac{8\varepsilon_0 S}{5d}\)。
「比誘電率が 4 だから容量も 4 倍」は間違い。誘電体は面積の一部にしか無く，しかも厚さも一部（残りは真空）。 4 倍になるのは，誘電体が極板のあいだを全部うめたときだけ。
同じ 2 枚の極板につながる部分どうしは同じ電圧。容量は足し算 \(C=C_1+C_0\)。
極板のあいだで上下に重なる層どうしは同じ電気量。逆数の足し算 \(\dfrac{1}{C_1}=\dfrac{1}{C_a}+\dfrac{1}{C_b}\)。
誘電体を極板のあいだのどの高さに置いても，真空の層の合計の厚さが \(\dfrac{d}{2}\) のままなら \(C_1\) は変わらない。 真空の層が上下 2 枚に分かれても，直列の逆数の足し算では
\(\dfrac{d/4}{\varepsilon_0 S_1} + \dfrac{d/4}{\varepsilon_0 S_1} = \dfrac{d/2}{\varepsilon_0 S_1}\)
と，合計の厚さだけが効くから。右の図のスライダー「誘電体の高さ」を動かしても，上の \(C_1\) の値が動かないことで確かめられる。
一般に，厚さ \(t\)・比誘電率 \(\varepsilon_r\) の板を入れたときは
\(\dfrac{1}{C_1} = \dfrac{t}{\varepsilon_r\varepsilon_0 S_1} + \dfrac{d-t}{\varepsilon_0 S_1}\)
\(\varepsilon_r=4,\ t=\dfrac{d}{2}\) ならこれが \(\dfrac{5d}{8\varepsilon_0 S_1}\) になる。
作った式が正しいかは，極端な場合で確かめるのが速い。\(\varepsilon_r=1\)（ただの真空の板）なら \(C_1=\dfrac{\varepsilon_0 S_1}{d}\)， \(t\to d\)（あいだを全部うめる）なら \(C_1\to\dfrac{4\varepsilon_0 S_1}{d}\)——どちらも式に入れると出てくる。
誘電体を押しこむほど重なる面積 \(S_1\) が増え，その部分の単位面積あたりの容量が \(\dfrac{8}{5}\) 倍なので，全体の容量 \(C\) は大きくなる。 上の①の図のスライダー「誘電体の位置」を動かすと，\(C_1\) の棒がのび，\(C_0\) の棒がちぢみ，合計が変わっていくのが見える。 電源につないだままなら電圧 \(V\) は変わらないので，電気量 \(Q=CV\) と静電エネルギー \(U=\dfrac{1}{2}CV^2\) も，\(C\) と同じように変わる。
同じ電圧になるようにたてに切って（面積を分けて）並列，同じ電気量になるようによこに切って（厚さを分けて）直列。 誘電体が半分だけ入る・2 種類の誘電体が上下に重なる・極板の半分だけ厚みが違う——どれもこの 2 つの組み合わせで解ける。
厚さ \(t\) の金属板をはさむと，その中では電場が 0 なので，間隔が \(d-t\) のコンデンサーと同じ \(C=\dfrac{\varepsilon_0 S}{d-t}\)。 これも「層に切って直列に足す」で，金属の層の容量を \(\varepsilon_r\to\infty\) とした場合として出せる。