物理 > 動く解説 > 物理 第4編 電気と磁気｜第1章 電場
電池につないだコンデンサーに，電気を通さない板（誘電体）をゆっくり差しこむ。電圧 \(V\) は一定のまま，電気容量 \(C\) が増えて，電池から電荷が送りこまれる。 電池が出したエネルギーは，ぜんぶコンデンサーにたまるのだろうか。
\(W_I\) は電源がする仕事（電荷を高さ \(V\) だけ持ち上げて送り出す仕事），\(\Delta U\) は静電エネルギー（コンデンサーがたくわえるエネルギー）の変化，\(\Delta C\) は電気容量の変化。 電源がした仕事のうち，静電エネルギーになるのは半分だけ。残りの半分の行き先は，手を離せば板の運動エネルギー，ゆっくり動かせば手（外力の仕事と打ち消しあう）， 電荷のないコンデンサーを充電するときはジュール熱。
入試では引き出す向きで問われることが多い。下の解説は引き出す向きで見ていく（符号がぜんぶ逆になる。差しこむ向きとの関係は「もっと詳しく」）。
なぜ 2 倍になるのか，そして力がどう決まるのかを順に見ていく。
① 電圧が一定だと電荷が出入りする → ② 電源がする仕事 → ③ 静電エネルギーの変化はその半分 → ④ 収支から外力の仕事 → ⑤ 力はグラフの傾き，の順に見る。
極板にたまる電気量は，電気容量と電圧で決まる。
\(Q = CV\)
\(V\) が一定のまま容量が \(\Delta C\) 変わると，
\(\Delta Q = V\Delta C\)
誘電体を引き出すと容量は減るので \(\Delta C \lt 0\)，つまり電荷は減る。
電池を外していれば電荷は逃げ場がないが，つないだままなら，減ったぶんの電荷は導線を通って電源へもどる。 逆に容量が増える向きに動かせば，電源から電荷が出ていく。
電位差 \(V\) のあいだを電気量 \(\Delta Q\) が通るとき，電源がする仕事は \(\Delta Q\) と \(V\) の積。
\(W_I = \Delta Q\cdot V\)
\(W_I = V\Delta C\cdot V = V^2\Delta C\)
引き出す向きでは \(\Delta C \lt 0\) なので \(W_I \lt 0\)。 これは「電源がエネルギーを受け取る（充電される）」ことを表している。
この式に出てくるのは \(V\) と \(\Delta C\) だけ。 誘電体を動かすのでも，極板の間隔を変えるのでも，容量が同じだけ変われば電源がする仕事は同じ。
静電エネルギーは，電気容量と電圧で次のように書ける。
\(U = \dfrac{1}{2}CV^2\)
\(V\) が一定なので，変わるのは \(C\) だけ。したがって
電源がした仕事のちょうど半分しか，静電エネルギーにならない（引き出す向きなら，電源へもどるエネルギーの半分だけが静電エネルギーの減りぶん）。 \(U = \dfrac{Q^2}{2C}\) や \(U = \dfrac{1}{2}QV\) の形から出してもよいが，\(V\) が一定のときは \(U = \dfrac{1}{2}CV^2\) がいちばん短い。
誘電体に仕事をするのは外力と静電気力，コンデンサーにエネルギーを入れるのは電源。 ゆっくり動かせば運動エネルギーは残らず，熱も出ないので，
\(W_I + W_F = \Delta U\)
\(W_F = \Delta U - W_I = \Delta U - 2\Delta U = -\Delta U\)
引き出す向きでは \(\Delta U \lt 0\) なので \(W_F \gt 0\)。 外力が正の仕事をする＝引っぱらないと誘電体は出ていかない。 誘電体は引きこまれる向きに力を受けている。
距離 \(\Delta\) だけ動かしたときの外力の仕事は \(W_F = F_{\text{外}}\Delta\)。 ゆっくり動かすので外力と静電気力はつりあっていて \(F_{\text{外}} = -F_\mathrm{p}\)。
\(W_F = -\Delta U\) だったので \(-F_\mathrm{p}\Delta = -\Delta U\)，つまり
\(F_\mathrm{p} = \dfrac{\Delta U}{\Delta}\)
静電気力は，\(U\) と位置のグラフの傾きになっている。
引き出すほど \(U\) は小さくなる（グラフは右下がり）ので傾きは負。 したがって \(F_\mathrm{p} \lt 0\)＝引きこむ向き。
「電源がした仕事がそのまま静電エネルギーになる」は勘違い。なるのは半分だけ。 残りの半分は，誘電体（や極板）を動かす力学的な仕事として出入りする。 電池を外してから動かした場合は電源の仕事が 0 になるので，収支も答えも変わる（下の「もっと詳しく」）。
電源は電位差 \(V\) のまま電荷 \(\Delta Q = V\Delta C\) を運ぶので \(W_I = V^2\Delta C\)。 静電エネルギーは \(U = \dfrac{1}{2}CV^2\) なので変化は \(\dfrac{1}{2}V^2\Delta C\)＝半分。
\(F_\mathrm{p} = \dfrac{\Delta U}{\Delta}\)。静電エネルギーを位置の関数にして，その傾きを読むだけ。
誘電体を差しこむ向きに動かすと容量は増える（\(\Delta C \gt 0\)）ので，
\(W_I = V^2\Delta C \gt 0\)，\(\quad \Delta U = \dfrac{1}{2}V^2\Delta C \gt 0\)，\(\quad W_F = -\Delta U \lt 0\)
電源は \(2\Delta U\) を送り出し，そのうち \(\Delta U\) がコンデンサーにたまり，残りの \(\Delta U\) は 誘電体を引きこむ力学的な仕事として外へ出ていく（押さえていないと，誘電体は勢いよく吸いこまれる）。 「電源が 2 倍働き，半分が静電エネルギー，半分が力学的な仕事」という形は，どちらの向きでも同じ。
電池を外すと電気量 \(Q\) が一定になり，静電エネルギーは \(U = \dfrac{Q^2}{2C}\) で考える。電源の仕事は 0 なので収支は \(W_F = \Delta U\)。 \(C\) が減れば \(U\) は増えるので，こちらも引き出すには正の仕事が必要になる。
同じ瞬間・同じ配置なら，誘電体にはたらく力は電池をつないでいても外していても同じ （力は，そのときの電荷と電場だけで決まる）。じつは \(F_\mathrm{p} = \dfrac{1}{2}V^2\dfrac{\Delta C}{\Delta}\) と書けて， 電圧一定なら \(F_\mathrm{p} = +\dfrac{\Delta U}{\Delta}\)，電気量一定なら \(F_\mathrm{p} = -\dfrac{\Delta U}{\Delta}\)。 符号がちがうのは \(U\) の変わり方がちがうからで，力そのものは一致する。どちらの式を使うかは「何を一定に保っているか」で決める。
電源の仕事は \(W = QV\)，たまるのは \(U = \dfrac{1}{2}QV\)＝やはり半分。手も板もないので，残りの半分は導線の抵抗で出るジュール熱になる。 抵抗がどんなに小さくても，熱になるのは \(\dfrac{1}{2}QV\) で変わらない（抵抗が小さいと，大きな電流が短い時間だけ流れる）。
誘電体を入れる・抜く，極板の間隔を変える，極板を横にずらす——どれも「容量がどれだけ変わるか（\(\Delta C\)）」を出せば， 電源の仕事・静電エネルギーの変化・外力の仕事が一気に書ける。検算にも使える（\(W_I\) が \(\Delta U\) の 2 倍になっているか）。
力のつりあいを立てなくても，\(U\) を位置 \(x\) の関数にして傾きを読めばよい。 極板の間隔 \(d\) を変える問題なら \(U(d)\) の傾き，誘電体を動かす問題なら \(U(x)\) の傾き。 変化が小さいところでは「\(\Delta U\) を \(\Delta\) でわる」だけで求まる。