物理 > 動く解説 > 物理基礎 第1編 運動とエネルギー｜第3章 仕事と力学的エネルギー
床に置いた物体 B（質量 \(M\)）の上に，ばね（ばね定数 \(k\)）を立て，物体 A（質量 \(m\)）をのせて止めておく。 A を手で，一定の力 \(F\) で真上へ引き上げていく。B が床から浮くのは，A がどれだけ上がったときだろうか。
はじめの縮み \(\dfrac{mg}{k}\) と，浮く瞬間の伸び \(\dfrac{Mg}{k}\) の足し算。
なぜそうなるのか。はじめの縮み → 浮く瞬間の伸び → 動く距離 → 浮く瞬間の速さ，の順に見ていく。
① はじめの縮み → ② 浮く瞬間の伸び → ③ 動く距離 → ④ 浮く瞬間の速さ，の順に見る。
A にはたらく力は，重力 \(mg\)（下向き）と，ばねが押し上げる力（上向き）。止まっているので，ばねの力は \(mg\)。
\(k \times \text{縮み} = mg \quad\Rightarrow\quad \text{縮み} = \dfrac{mg}{k}\)
ばねは両端を同じ大きさの力で押すので，B も \(mg\) で押し下げている。床が B を押し返す力（垂直抗力 \(N\)）は，
\(N = Mg + mg\)
A を引き上げると縮みが減り，自然の長さを過ぎると伸びて，ばねは B を上へ引く。B のつり合いは \(N + k \times \text{伸び} = Mg\) なので，伸びるほど \(N\) は小さくなる。
\(N = 0\) になった瞬間に B は床から浮く。このとき
\(k \times \text{伸び} = Mg \quad\Rightarrow\quad \text{伸び} = \dfrac{Mg}{k}\)
床が支えていた B の重さを，ばねが全部引き受けたとき，と言い換えられる。
A は，はじめの位置から自然の長さまでで縮みのぶん \(\dfrac{mg}{k}\)，そこから浮く瞬間までで伸びのぶん \(\dfrac{Mg}{k}\) だけ上がる。
\(d = \dfrac{mg}{k} + \dfrac{Mg}{k} = \dfrac{(m+M)g}{k}\)
浮く瞬間の伸び \(\dfrac{Mg}{k}\) だけを，A の動いた距離にしてしまう。はじめ，ばねは A の重さで縮んでいたので，自然の長さに戻るまでのぶん \(\dfrac{mg}{k}\) も足す。
B は浮くまで動かないので，手がした仕事 \(Fd\) は，A の位置エネルギーの増加 \(mgd\)・ばねのエネルギーの増加・A の運動エネルギーに分かれる。
\(Fd = mgd + \Delta U_{\text{ばね}} + \dfrac12mv^2\)
ばねのエネルギーは自然の長さからの伸び縮みで決まるので，
\(\Delta U_{\text{ばね}} = \dfrac12k\left(\dfrac{Mg}{k}\right)^2 - \dfrac12k\left(\dfrac{mg}{k}\right)^2\)
垂直抗力 \(N = 0\)：ばねが B を引く力 ＝ B の重さ。伸びは \(\dfrac{Mg}{k}\)。
はじめの縮み \(\dfrac{mg}{k}\) ＋ 浮く瞬間の伸び \(\dfrac{Mg}{k}\)。速さはエネルギーで（ばねは差で）。
\(d = \dfrac{(m+M)g}{k}\)・\(\Delta U_{\text{ばね}} = \dfrac{(M^2-m^2)g^2}{2k}\) を入れて整理すると，
\(\dfrac12mv^2 = d\left(F - \dfrac{(m+M)g}{2}\right)\)
右辺が正でないと速さが出ない。つまり，\(F\) が \(\dfrac{(m+M)g}{2}\) より小さいと，A は浮く位置まで届かず，B は浮かない（A は上下に往復するだけ）。
B が浮くかどうかは，B のつり合い \(N + k \times \text{伸び} = Mg\) だけで決まる。A をどう引き上げても（ゆっくりでも，勢いよくでも），浮く瞬間の伸びは \(\dfrac{Mg}{k}\)，A の動く距離は \(\dfrac{mg}{k} + \dfrac{Mg}{k}\) のまま。引き方で変わるのは，浮く瞬間の速さだけ。