跳ね返りの高さは e² 倍

❓ 1. 疑問と結論

ボールを床に落とすと，跳ね返った高さはもとより低い。では，もとの高さの何倍になる？

🎯 結論：高さは $e^2$ 倍

$$ h' = e^2 h $$

$h$〔m〕：落とした高さ

$h'$〔m〕：跳ね返った高さ

$e$：反発係数

💡

反発係数 $e$……動かない床にぶつかるとき，直後の速さ ÷ 直前の速さ（$0 \leqq e \leqq 1$）

🔢 数で見る

$e = 0.5$ なら $e^2 = 0.25$。10 m から落とすと 2.5 m。
🔁 何回跳ねても同じ割合

跳ねるたびに $e^2$ 倍。10 → 2.5 → 0.63 → 0.16 m。

🔥 ここが超重要

反発係数が決めるのは高さではなく速さ。だから，いったん速さに直してから高さへ戻る（次のカード）。

📚 2. 解説と確かめ

なぜ 2 乗になるのかを式で見てから，いちばん多い思い違いで確かめる。

📐 解説：なぜ 2 乗になるのか

落ちる → ぶつかる → 上がる，の 3 段。速さを通って高さへ戻る。

⬇️ ① 衝突の前：ぶつかる直前の速さ

向きを決める

空気抵抗は考えない。落ちる向きを正にとる。
公式に入れる

$v^2 - v_0{}^2 = 2ax$ に，$v_0 = 0$，$a = g$，$x = h$。

$v_y{}^2 - 0 = 2gh$
直前の速さ（①式）

$v_y{}^2 = 2gh$　……①

⬆️ ② 衝突の後：最高点の高さ

向きを取り直す

上りなので上向きを正。加速度は $-g$。
公式に入れる

はじめ $v_y{}'$，最高点で 0，距離は $h'$。

$0 - v_y{}'^2 = 2(-g)h'$
最高点の高さ（②式）

両辺を $-2g$ でわる。

$h' = \dfrac{v_y{}'^2}{2g}$　……②

🔗 ③ 反発係数で結ぶ

直後の速さ

$v_y{}' = e\,v_y$
2 乗して①を入れる

①も②も速さの 2 乗なので，形をそろえる。

$v_y{}'^2 = e^2 v_y{}^2 = e^2 \cdot 2gh$
②に入れる

分母と分子の $2g$ が約分できる。

$h' = \dfrac{e^2 \cdot 2gh}{2g} = e^2 h$

速さが $e$ 倍になると，高さは $e^2$ 倍になる。

🔁 別解：力学的エネルギー保存で見る

落ちるあいだも上がるあいだも，仕事をする力は重力だけ。

$$ \dfrac12 m v_y{}^2 = mgh, \qquad \dfrac12 m v_y{}'^2 = mgh' $$

比をとると，$m$ と $g$ が消える。

$$ \dfrac{h'}{h} = \left(\dfrac{v_y{}'}{v_y}\right)^2 = e^2 $$

速さが $e$ 倍 → 運動エネルギーが $e^2$ 倍 → それがそのまま位置エネルギーになる。

🧮 確かめ：反発係数 0.5 なら，高さは半分？

いちばん多い思い違い。答える前に，自分の答えを決めてから読む。

答えは「いいえ」

半分になるのは速さのほう。
高さにかかるのは $e^2$

$h' = 0.5^2 \times h = 0.25\,h$
数で見る

10 m から落とすと 2.5 m。高さは 4 分の 1。

⚠️ 要注意！

「$e = 0.5$ なら高さも半分」は誤り。反発係数は速さの比で，高さは速さの 2 乗で決まる。

🔑 まとめ

結論：跳ね返りの高さは $h' = e^2 h$。
なぜ：反発係数が決めるのは速さ。高さは速さの 2 乗に比例する。
確かめ：$e = 0.5$ なら高さは 4 分の 1（半分になるのは速さ）。
何回も：$h_n = \left(e^2\right)^{n} h$。無限回跳ねても，止まるまでの時間は有限。
斜めでも：垂直な成分だけ $e$ 倍。水平な床なら高さは $e^2$ 倍。

🔍 3. もっと詳しく

ショートでは流した所。知りたい所だけ開く。

🔁 何回も跳ねると？

跳ねるたびに $e^2$ 倍。では，何回跳ねて，いつ止まる？

📉 $n$ 回目の最高点

1 回目

$h_1 = e^2 h$
2 回目

$h_2 = e^2 h_1 = \left(e^2\right)^2 h$
$n$ 回目

同じ割合で減る。公比 $e^2$ の等比数列。

$$ h_n = \left(e^2\right)^{n} h $$

$h_n$〔m〕：$n$ 回跳ねたあとの最高点

$n$：跳ねた回数

ちょうど 0 にはならない。跳ねる回数は無限。

⏱️ それでも，止まるまでの時間は有限

1 回ぶんの滞空時間

跳ね上がる速さは $e^{n} v_y$。上がって落ちるまでは，最高点までの 2 倍。

$t_n = \dfrac{2e^{n} v_y}{g}$
全部たす

最初の落下 $\dfrac{v_y}{g}$ に，$t_1, t_2, \cdots$ をたす。

$$ T = \dfrac{v_y}{g} + \dfrac{2v_y}{g}\bigl(e + e^2 + \cdots\bigr) $$
かっこの中は有限

公比 $e$（$0 \leqq e \lt 1$）の無限等比級数。

$e + e^2 + \cdots = \dfrac{e}{1 - e}$

$$ T = \dfrac{v_y}{g} \cdot \dfrac{1 + e}{1 - e} $$

$v_y = \sqrt{2gh}$：はじめにぶつかる速さ

$e$：反発係数（$0 \leqq e \lt 1$）

$h = 10\ \text{m}$，$e = 0.5$ なら $T \fallingdotseq 4.3\ \text{s}$。無限回跳ねても，4.3 秒で止まる。

🧮 計算例：級数の和の出し方と，動いた道のり

$S = e + e^2 + \cdots$ に $e$ を掛けると，項が 1 つずつずれる。引くと真ん中が全部消える。

$$ S - eS = e \quad\Longrightarrow\quad S = \dfrac{e}{1 - e} $$

動いた道のりを $D$ とおく。跳ね返ったあとは，同じ高さを上りと下りで 2 回通る。

$$ D = h + 2\left(h_1 + h_2 + \cdots\right) $$

$$ {}= h\left(1 + \dfrac{2e^2}{1 - e^2}\right) \fallingdotseq 16.7\ \text{m} $$

$e$	0.1（粘土）	0.5	0.9（スーパーボール）
$T$	1.7 s	4.3 s	27 s

$e$ が 1 に近いほど，$T$ は急に長くなる。

↗️ 斜めに当たると？

斜めに当たっても，跳ね返りの高さは $e^2$ 倍？

速度を 2 つに分ける

床に平行な成分と，床に垂直な成分。
平行な成分はそのまま

なめらかな床は，平行な向きに力をおよぼさない。
垂直な成分だけ $e$ 倍

反発係数が効くのは床に垂直な成分だけ。

水平でなめらかな床なら，斜めに当たっても高さは $e^2$ 倍。変わるのは跳ね返る向きだけ。