物理 > 第3編 波 > 第1章 波の伝わり方
2 つの波が出会うと，どうなるか。物理基礎の 3 つをふり返る。
波 1 だけがあるときの変位を \(y_1\)〔m〕，波 2 だけがあるときの変位を \(y_2\)〔m〕とする。変位は，上向きを正にとる。
図は，逆向きに進む 2 つのパルスが重なり，すれちがうようすだ。
山と山が重なると高くなり，山と谷が重なると打ち消しあう。波そのものは消えない。
2 人が同時に話しても，それぞれの声を聞き分けられる。音の波も，重なったあとは元の形で進むからだ。
波長 \(\lambda\)〔m〕・振幅 \(A\)〔m〕・周期 \(T\)〔s〕の等しい 2 つの正弦波が，同じ速さで逆向きに進んで重なる。
2 つの波が近づいて重なると，重なった所に実線（2 つを足した波）ができる。実線は左右どちらにも進まない。
節の位置は，時間がたっても動かない。
腹は，となりあう節と節のまん中にある。腹は 2 つの波がいつも強めあう点，節はいつも打ち消しあう点だ。
両端から同位相の波を送ると，真ん中の点には 2 つの波が同時に届く。
変位がいつも同じ向きで重なるので，真ん中は腹になる。
「② 正弦波の式」の形で，\(x\) 軸の正の向きと負の向きに進む 2 つの波を書く。
$$ y_1 = A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right), $$ $$ y_2 = A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} + \dfrac{x}{\lambda}\right) $$
和積の公式を使って 2 つを合わせる。
$$ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\dfrac{\alpha - \beta}{2} $$
\(\alpha\)，\(\beta\) を，\(y_1\)，\(y_2\) の \(\sin\) の中とすると，
$$ \dfrac{\alpha + \beta}{2} = \dfrac{2\pi t}{T}, $$ $$ \dfrac{\alpha - \beta}{2} = -\dfrac{2\pi x}{\lambda} $$
\(\cos\) は，中の符号を変えても同じ値なので，\(y = y_1 + y_2\) は次の形になる。
$$ y = 2A\cos\dfrac{2\pi x}{\lambda}\cdot\sin\dfrac{2\pi t}{T} $$
後ろの \(\sin\) は，周期 \(T\) の振動だ。前の \(2A\cos\) の部分の大きさが，位置 \(x\) での振幅になる。
\(\cos\) が \(\pm 1\) になる位置が腹，0 になる位置が節だ。どちらも \(x\) だけで決まり，時刻によらない。だから波形は進まない。
節の位置は，\(\dfrac{2\pi x}{\lambda} = \dfrac{\pi}{2},\ \dfrac{3\pi}{2},\ \cdots\) を解いて，
\(x = \dfrac{\lambda}{4},\ \dfrac{3\lambda}{4},\ \dfrac{5\lambda}{4},\ \cdots\)
となりあう節は，半波長ずつはなれている。
\(x = 0\) は，2 つの波がいつも同位相で重なる点で，腹になっている。
波は，媒質の端ではね返る（反射）。はね返る前の波を入射波，あとの波を反射波という。
山は山のまま反射する
山は谷になって反射する
端の先まで，同じ形でのばす。
のばした部分の上下を反転する。
折り返した形が，反射波だ。
図の藍の破線が入射波，青緑の破線が反射波，紫の実線が合成波だ。
入射波と反射波が重なり，定在波ができる。端の点は，自由端なら腹，固定端なら節になる。
弦楽器の弦や，管楽器の中の空気でも，反射した波が重なって定在波ができる（音の章で学ぶ）。
問題を読み込んでいます…
水面の 2 か所を同じリズムでたたく。2 つの波はどう重なるか。
波面の作図 → 粒子説との対立 → 干渉の実験の順に，光は波だと認められていった。
ホイヘンスは，振り子時計を発明し（1656 年），土星の環の正体を見ぬいた天文学者でもある。
ニュートンの名声もあって，粒子説が 100 年近く主流だった。20 世紀には，光が粒子としてもふるまうことが分かる。
頭の立体の図では，大きくゆれる所と，ほとんどゆれない所が，すじのように並ぶ。どこがどちらになるかを，上から見た図で調べる。
図の実線は山，破線は谷の位置だ（ある瞬間）。
2 つの波が強めあい，大きく振動する
2 つの波が打ち消しあい，ほとんど振動しない
垂直二等分線の上は，2 つの波源から同じ距離で，腹線だ。そこから外へ，節線と腹線が交互に並ぶ。
強めあうか弱めあうかは，場所だけで決まる。だから，水面に動かない模様（双曲線）ができる。
ノイズキャンセリングのイヤホンは，マイクで周りの騒音を拾い，それと逆位相の音をスピーカーから出す。
2 つの音は耳の所で弱めあうので，騒音が小さく聞こえる。干渉を，わざと「弱めあう」側で使っている。
図の上は水面，下は P の振動だ。
強めあう：山と山，谷と谷
弱めあう：山と谷
強めあう：常に同位相
弱めあう：常に逆位相
強めあう：\(0,\ \lambda,\ 2\lambda,\ \cdots\)
弱めあう：\(0.5\lambda,\ 1.5\lambda,\ \cdots\)
同位相の波源 \(\mathrm{S}_1\)，\(\mathrm{S}_2\) を結ぶ線分の上で，弱めあう点の数を求める。この数が，波源の間を通る節線の本数だ。
\(\mathrm{S_1P} = l_1\)，\(\mathrm{S_2P} = l_2\) は，和が \(\mathrm{S_1S_2}\) なので，
\(\lvert l_1 - l_2\rvert \lt \mathrm{S_1S_2}\)
\(\left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda\)\(\lt \mathrm{S_1S_2}\)
\(m = 0\) から数える。1 つの \(m\) に左右 2 個。
線分の上は定在波だ。中点から \(x\)〔m〕の点では，一方の波源に \(x\) 近づき，他方から \(x\) 遠ざかるので，
\((\text{行路差}) = 2x\)
弱めあう条件に入れると，節は，中点から 4 分の 1 波長の所から，半波長ごとに並ぶ。逆位相の波源なら，中点が節になる。
2 つの波源の振動がずれていると，干渉の模様もずれる。点 \(\mathrm{P}\) での重なり方は，2 つのずれを足して決める。
行路差 \(\lambda\) あたり，位相は \(2\pi\) ずれる。
波源の振動の位相の差も，合わせて考える。
強めあう（腹線）。
弱めあう（節線）。
逆位相（ずれ \(\pi\)）の波源なら，行路差 0 の垂直二等分線は節線。
反射の法則より，壁で反射した波は，壁の向こうの「鏡に映した波源」から来たとみなせる。反射で山が谷になるなら，その波源は逆位相とみなす。
問題を読み込んでいます…
波は壁ではね返り，浅い所で曲がる。どちらも，角度に決まりがある。
平面波を，壁（境界面）に斜めに当てる。境界面に垂直な直線を，境界面の法線という。
図の藍は入射波，青緑は反射波。緑の矢印が，波の進む向きだ。
反射波は，入射波と同じ媒質を進む。反射しても，速さと波長は変わらない。
水面波は，水が浅い所ほど遅く進む。深い所（媒質 1）から浅い所（媒質 2）へ，斜めに平面波を送る。
遅い媒質に入ると，進む向きは法線に近づく。
水面波は浅い所，音は冷たい空気，光は水やガラスの中。
境界面では，屈折と同時に反射も起こる。屈折の向きは，屈折の法則（スネルの法則）で決まる。
\(n_{12}\) は 2 つの媒質で決まる値で，媒質 1 に対する媒質 2 の相対屈折率という。
媒質 2 のほうが遅いとき，\(n_{12} \gt 1\) だ。光では「光学的に密」ともいう。
遅いかどうかは，かたさでは決まらない（音は鉄の中のほうが速い）。
入射角・反射角・屈折角は，境界面ではなく，法線から測る。
屈折の法則に入れる。
$$ \dfrac{\sin 60^\circ}{\sin r} = 1.5 $$
$$ \sin r = \dfrac{\sin 60^\circ}{1.5} $$ $$ {}= \dfrac{\sqrt{3}}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \fallingdotseq 0.58 $$
\(r\) はおよそ \(35^\circ\)。屈折角は，入射角より小さい。
媒質 2 での速さと波長は，どちらも媒質 1 での値の 1.5 分の 1（約 0.67 倍）になる。
入試の図では，角が「波面と境界面のなす角」で与えられることが多い。これを入射角に読みかえる。
波面と射線，境界面と法線は，どちらも垂直だ。
波面と境界面の角は，入射角に等しい。
図の波面の間隔は，その媒質での波長だ。
屈折の法則を，もう一度書く。
\(n_{12} = \dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}\)
媒質 2 の速さと波長について解くと，次の表になる。
| 量 | 媒質 2 では |
|---|---|
| 速さ | \(v_2 = \dfrac{v_1}{n_{12}}\) |
| 波長 | \(\lambda_2 = \dfrac{\lambda_1}{n_{12}}\) |
| 振動数 | 変わらない |
逆に，媒質 2 から媒質 1 へ進むときは，\(v_1\) と \(v_2\) が入れかわるので，
\(n_{21} = \)\(\dfrac{1}{n_{12}}\)
🔍 屈折の法則 の式で，速さの比と波長の比が等しいわけを，深さのちがうプールで確かめる。
水面波は，浅い所ほど遅く進む（浅いと，水の動きが底の影響を受ける）。深い所と浅い所が，速さのちがう 2 つの媒質になる。
斜めに入ると，波面のうち先に浅い所へ入った側から遅くなる。そのため，波面が境界で折れ曲がる（図の入射角 \(i\) を大きくする）。
同じ時間に通る山の数は，両側で同じ（波は境界でたまらない）。
振動数 \(f\) は，屈折しても変わらない。
物理基礎 \(v = f\lambda\) で，\(f\) が共通なので，
\(\dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{f\lambda_1}{f\lambda_2} = \dfrac{\lambda_1}{\lambda_2}\)
屈折の法則のもう 1 つの等号（sin の比 ＝ 速さの比）は，波面の作図から出る（✏️ 屈折の法則を導く）。
屈折で変わるのは，速さ \(v\) と波長 \(\lambda\) だけだ。\(f\) は波源で決まり，媒質が変わっても変わらない。
問題を読み込んでいます…
寄せる波の山は，横一線にそろって進む。次にどこへ進むかを，作図で決める。
水面の 1 点を振動させると，円形の波紋が広がる。同じ円の上の点は，そろって山になり，そろって谷になる。
波面が平面の波（水面では直線）
波面が球面の波（水面では円）
図は，身の回りの水面の波（🌊 水面）と，空間を伝わる波（🧊 立体）を切りかえて示す。水面では，山の連なり（藍の線）が波面だ。
射線は，波の進む向きを示す線（図の緑の矢印）。
波面の上の各点を，新しい波源とみなす。そこから出る球面波を素元波という。
波の速さを \(v\)〔m/s〕とすると，\(t\)〔s〕後の素元波の半径は \(vt\)。
次の波面も平面。\(vt\) だけ平行に進む
次の波面も球面。半径が \(vt\) だけ大きくなる
図の橙茶の円弧が素元波，藍の線が次の波面だ。
この考え方で，反射と屈折の法則も導ける。
遠浅の海岸では，岸に近い（浅い）所ほど波が遅い。沖から斜めに来た波の，波面の向きを作図で決める。
波面の各点から，その場所の速さで素元波をかく。
浅い所の素元波は小さいので，波面が曲がる。
射線は浅いほうへ曲がり，波面は海岸線に平行に近づく。
入射波の波面 \(\mathrm{AB}\) の端 \(\mathrm{A}\) が壁に達してから，端 \(\mathrm{B}\) が射線にそって壁の点 \(\mathrm{D}\) に着くまでを考える（\(\angle\mathrm{ABD}\) は直角）。波の速さを \(v\)〔m/s〕，かかる時間を \(t\)〔s〕とする。
\(\mathrm{B}\) は \(\mathrm{BD}\) 進み，\(\mathrm{A}\) の素元波は円 \(\mathrm{O}\) になる。
\((\text{円 O の半径}) = \)\(vt = \mathrm{BD}\)
円 \(\mathrm{O}\) への接線 \(\mathrm{DC}\) が，反射波の波面。
斜辺 \(\mathrm{AD}\) が共通で，\(\mathrm{BD}\) と \(\mathrm{CA}\) が等しい。
\(\triangle\mathrm{ABD} \equiv \triangle\mathrm{DCA}\)
波面と壁のなす角が等しい。
\(\angle\mathrm{BAD} = \angle\mathrm{CDA}\)
波面は射線に，壁は法線に垂直なので，\(\angle\mathrm{BAD}\) は入射角 \(i\)，\(\angle\mathrm{CDA}\) は反射角 \(j\) に等しい。
\(i = \angle\mathrm{BAD} = \angle\mathrm{CDA} = j\)
媒質 1 から媒質 2 へ進む波も，同じ作図をする。波の速さを媒質 1 で \(v_1\)〔m/s〕，媒質 2 で \(v_2\)〔m/s〕，\(\mathrm{B}\) が \(\mathrm{D}\) に着くまでの時間を \(t\)〔s〕とする。
速さ \(v_2\) で時間 \(t\) 進み，円 \(\mathrm{O}\) をつくる。
\(\mathrm{D}\) から円 \(\mathrm{O}\) に引いた線\(\mathrm{DC}\) が屈折波の波面。
反射と同じ理由で，
\(\angle\mathrm{BAD} = i,\quad \angle\mathrm{ADC} = r\)
直角三角形 \(\mathrm{ABD}\)，\(\mathrm{ACD}\) で，
\(\mathrm{AD}\sin i = \mathrm{BD} = v_1 t\)
\(\mathrm{AD}\sin r = \mathrm{AC} = \)\(v_2 t\)
辺ごとに割ると，\(\mathrm{AD}\) と \(t\) が消える。
\(\dfrac{\sin i}{\sin r} = \)\(\dfrac{v_1}{v_2}\)
屈折の法則の，速さの比の式が導けた。波長の比も等しいことは，🎵 屈折で変わらない量 で見たとおりだ。
反射も屈折も同じ作図。ちがうのは，円 \(\mathrm{O}\)（\(\mathrm{A}\) の素元波）の大きさだけ。
問題を読み込んでいます…
すき間を通った波は，扇のように広がる。広がり方は，波長で変わる。
図で，すき間の幅を \(d\)〔m〕，波長を \(\lambda\)〔m〕とする。
\(\lambda\) が \(d\) と同程度以上で，回折が目立つ
波長が長いほど，回折しやすい
すき間が波長より十分に広いと，波はほぼまっすぐ進む。
すき間の各点を波源とみなすと，端から出る素元波が背後へ広がる。障害物のふちでも，同じように陰へまわりこむ。
人の声の波長は，数十 cm〜数 m。塀や建物の陰にも，まわりこんで届く。
光の波長は 1 mm の 1000 分の 1 以下。ふだんは回折が目立たない。
すき間の各点からの素元波が，少しずれた向きでどう重なるかを見る。図は，長い波（上）と短い波（下）をくらべる。
上半分の点と，幅の半分だけ下の点を組む。
下の点から出る波は，少し遠回りになる（図）。
2 つの波は逆位相で重なり，打ち消しあう。
どの組も同じなので，その向きには波が届かない。
少しずらしても打ち消しあわず，横にも届く → 回折しやすい
少しずらすと，すぐ打ち消しあい，横には届かない → 回折しにくい
波長がすき間の幅より長いと，どこまでずらしても遠回りは半波長に届かない。波は，前方のどの向きにも届く。
遠くの台風から届くうねりは，周期が 10 秒をこえ，波長が 100 m 以上になることもある。
波長が長いので，防波堤のすき間から港の奥までまわりこみやすい。港をつくるときは，回折で入りこむ波の高さも計算して，防波堤の向きや長さを決める。
問題を読み込んでいます…
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