物理 > 第3編 波 > 第1章 波の伝わり方
進む先の浮きほど，遅れて同じゆれ方をする。この遅れを式にする。
振幅 \(A\)〔m〕・周期 \(T\)〔s〕・波長 \(\lambda\)〔m〕の正弦波が，速さ \(v\)〔m/s〕で \(x\) 軸の正の向きに進む。波源は原点にある。
角振動数を \(\omega\)〔rad/s〕とすると，時刻 \(t\)〔s〕の変位 \(y\)〔m〕は，
\(y = \)\(A\sin\omega t\)
1 周期 \(T\) で，角は \(2\pi\) 進むので，
\(\omega = \)\(\dfrac{2\pi}{T}\)
\(y = A\sin\omega t\) に入れると，
\(y = \)\(A\sin\dfrac{2\pi}{T}t\)
時刻 0 に，原点は \(y = 0\) を上向きに通る。だから時刻 0 の波形（図の上）は，原点で右下がりだ。
原点から距離 \(x\)〔m〕の点 \(\mathrm{P}\) の，時刻 \(t\)〔s〕での変位 \(y\)〔m〕を求める。波形が 1 s に進む距離を，波の速さ \(v\)〔m/s〕という。
距離 \(x\) を伝わる時間 \(t_0\)〔s〕は，
\(t_0 = \)\(\dfrac{x}{v}\)
\(\mathrm{P}\) の変位は，\(t_0\)〔s〕だけ前の波源（原点）の変位だ。
波源（原点）の式をもう一度書く。
\(y = A\sin\dfrac{2\pi}{T}t\)
遅れの分だけ \(t\) をもどすと，
\(y = \)\(A\sin\dfrac{2\pi}{T}(t - t_0)\)
1 で求めた \(t_0\) を入れると，
\(y = \)\(A\sin\dfrac{2\pi}{T}\left(t - \dfrac{x}{v}\right)\)
\(\dfrac{2\pi}{T}\) のうち \(2\pi\) は前に残し，\(\dfrac{1}{T}\) だけをかっこの中に掛けると，
\(y = \)\(A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{vT}\right)\)
物理基礎波の基本式 \(v = f\lambda\) に，\(f = \dfrac{1}{T}\) を入れると，
\(v = \dfrac{\lambda}{T}\) すなわち \(vT = \lambda\)
これを使うと，正弦波の式が得られる。
波形は，形を変えずに速さ \(v\) で進む。時刻 \(t\) の位置 \(x\) の変位は，時刻 0 の位置 \(x - vt\) の変位と同じだ。
そこで，時刻 0 の波形（正弦波の式で \(t = 0\)）の \(x\) を，\(x - vt\) に置きかえる。
$$ y = A\sin 2\pi\left(0 - \dfrac{x - vt}{\lambda}\right) $$ $$ {}= A\sin 2\pi\left(\dfrac{vt}{\lambda} - \dfrac{x}{\lambda}\right) $$
\(vT = \lambda\) を使うと，正弦波の式にもどる。正弦波の式は，速さ \(v\) で平行移動する波形の式でもある（「波と媒質の運動」の「時間がたったあとの波形」と同じ考え方）。
波が \(x\) 軸の負の向きに進むときは，振動が \(\mathrm{P}\) から原点へ伝わる。
原点は \(\mathrm{P}\) より，正の向きと同じ時間 \(t_0 = \dfrac{x}{v}\)〔s〕だけ遅れる。
\(\mathrm{P}\) の変位は，\(t_0\)〔s〕だけ後の原点の変位と等しい。
原点の式をもう一度書く。
\(y = A\sin\dfrac{2\pi}{T}t\)
遅れの分だけ \(t\) を進めると，
\(y = \)\(A\sin\dfrac{2\pi}{T}(t + t_0)\)
\(t_0\) を代入して，同じように整理すると，
\(y = \)\(A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} + \dfrac{x}{\lambda}\right)\)
正の向きでは時間をもどし，負の向きでは時間を進める。
\(x\) の前の符号のちがいは，ここから来る（\(t - t_0\) と \(t + t_0\)）。
\(x\) と \(t\) の並びが逆の式や，\(\cos\) の式が出ることもある。
\(\sin(-\theta) = -\sin\theta\) を使う。
$$ A\sin 2\pi\left(\dfrac{x}{\lambda} - \dfrac{t}{T}\right) $$ $$ {}= -A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right) $$
\(t\) と \(x\) の符号が逆なら正の向き，同じなら負の向きに進む。
例えば，\(y = A\cos\pi(ax + bt)\)（\(a\)，\(b\) は正の定数）は，符号が同じなので負の向きに進む。
\(\pi(ax + bt) = 2\pi\left(\dfrac{b}{2}t + \dfrac{a}{2}x\right)\)
\(t\)，\(x\) の係数を，正弦波の式とくらべると，
\(T = \dfrac{2}{b}\)，\(\lambda = \dfrac{2}{a}\)
波の基本式に入れると，
\(v = \dfrac{\lambda}{T} = \)\(\dfrac{b}{a}\)
\(y\)–\(x\) 図と \(y\)–\(t\) 図は，どちらも正弦波の式から出てくる。式をもう一度書くと，
\(y = A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\)
右辺の \(x\)〔m〕と \(t\)〔s〕の 2 つで，変位 \(y\)〔m〕が決まる。図は，その 2 つの平面の上に \(y\) を高さとして立てた面だ。
\(t\) を決めれば \(y\)–\(x\) 図（その時刻の波形），\(x\) を決めれば \(y\)–\(t\) 図（その位置の振動）。
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正弦波の式に時刻や位置の値を入れて，\(y\)–\(x\) 図・\(y\)–\(t\) 図を出す。
1 枚目の立体の図は，位置 \(x\) と時刻 \(t\) の平面の上に，変位 \(y\) を高さとして立てた面だ。
変位 \(y\) が 1 つに決まる（面の高さ）
面の切り口が，1 本のグラフになる
正弦波の式をもう一度書く。
\(y = A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\)
例えば，\(t = T\)，\(x = \dfrac{3}{4}\lambda\) を入れると，
$$ y = A\sin 2\pi\left(1 - \dfrac{3}{4}\right) $$ $$ {}= A\sin\dfrac{\pi}{2} = A $$
この時刻，この位置の媒質は，山にある（面の山の 1 つ）。
\(\sin(\theta + 2n\pi) = \sin\theta\)，\(\sin(-\theta) = -\sin\theta\)，\(\sin\left(\dfrac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta\)（\(n\) は整数）
正弦波の式をもう一度書く。
\(y = A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\)
\(t\) に \(2T\) を入れると，
\(y = A\sin 2\pi\left(2 - \dfrac{x}{\lambda}\right)\)\({}= A\sin\left(4\pi - \dfrac{2\pi}{\lambda}x\right)\)
上の公式で \(4\pi\) を消し，符号を前に出すと，
\(y = \)\(-A\sin\dfrac{2\pi}{\lambda}x\)
その時刻の波形を表す。
\(t = 2T\) の曲線は，\(t = 0\) の曲線（図の破線）と重なる。2 周期で，ちょうど 2 波長進むからだ。
正弦波の式に入れると，波源の式にもどる。
\(y = A\sin\dfrac{2\pi}{T}t\)
その位置の媒質の時間変化を表す。
\(x\) が大きい点ほど，\(y\)–\(t\) 図は右へずれる。進む先の点ほど，遅れて振動するからだ。
\(t\) を決めれば \(y\)–\(x\) 図，\(x\) を決めれば \(y\)–\(t\) 図。どちらも，1 本の式から出る。
数値の係数で書かれた式から，波の量を読む。例は \(y = 0.10\sin\pi(t - 0.50x)\)（単位は m，s）。
$$ \pi(t - 0.50x) $$ $$ {}= 2\pi(0.50t - 0.25x) $$
正弦波の式をもう一度書く。
\(y = A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\)
振幅は \(A = 0.10\) m だ。
\(t\)，\(x\) の係数をくらべると，
\(T = \)\(2.0\) s
\(\lambda = \)\(4.0\) m
\(x\) の前が \(-\) なので，正の向きに進む。
\(\pi\) でくくったままくらべると，周期と波長を半分に読みちがえる。必ず \(2\pi\) の形にそろえる。
同じ式 \(y = 0.10\sin\pi(t - 0.50x)\) で，時刻 \(t = 0.50\) s の変位を求める。
原点（\(x = 0\)）……\(\sin\) の中の角は \(0.50\pi\) だ。
$$ y = 0.10\sin\dfrac{\pi}{2} = 0.10\ \text{m} $$
\(x = 1.0\) m……角は \(\pi(0.50 - 0.50) = 0\) だ。
$$ y = 0.10\sin 0 = 0 $$
原点が山のとき，4 分の 1 波長先（1.0 m）の変位は 0 になる。
シーソーの同じ側はそろい，反対側とは逆に動く。振動のずれを，角で表す。
変位が同じでも，上がっている点と下がっている点がある。位相は，変位と動く向きを 1 つの角（rad）で表す。単振動と同じだ。
波源（原点）の式を書く。
\(y = A\sin\dfrac{2\pi}{T}t\)
この \(\sin\) の中の角が，原点の位相だ。
原点の位相 \(= \)\(\dfrac{2\pi}{T}t\)
正弦波の式を書く。
\(y = A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\)
この \(\sin\) の中の角が，位置 \(x\) の位相だ。
位相 \(= \)\(2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\)
先の点ほど同じ状態があとに来て，位相が遅れる。
図の矢印の角が，各点の位相だ。
2 点の距離を \(d\)〔m〕，\(m = 0, 1, 2, \cdots\) とする。
同じ振動をする 2 点。距離は \(d = \)\(m\lambda\)
逆の振動をする 2 点。距離は \(d = \)\(\left(m + \dfrac{1}{2}\right)\lambda\)
位相の差でいうと，同位相は \(2\pi\) の整数倍，逆位相は \(\pi\) の奇数倍だ。
波の進む向きに \(\lambda\) 進むごとに，位相は \(2\pi\) 遅れる。
\(\lambda\) 先の点は，ちょうど 1 周期遅れて振動するからだ。
別々の波源から出た波どうしでも，位相が等しければ同位相という。2 つの波の重なりで使う。
位置 \(x_1\) と \(x_2\) の位相の差をとると，\(t\) が消える。
$$ 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x_1}{\lambda}\right) - 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x_2}{\lambda}\right) $$ $$ {}= 2\pi\,\dfrac{x_2 - x_1}{\lambda} $$
波長 4.0 m の波で，1.0 m はなれた 2 点なら，
$$ 2\pi \times \dfrac{1.0}{4.0} = \dfrac{\pi}{2} $$
進む先の点は，4 分の 1 周期遅れて振動する。2.0 m はなれると位相の差は \(\pi\) で，逆位相になる。
原点の振動は，いつも \(y = 0\) から上向きに始まるとは限らない。山や谷，下向きから始まることもある。
ここでは，原点がどんな振動から始まっても使える正弦波の式を立てる。やり方は 🎵 波源の単振動 と同じで，まず原点の式を書き，位置 \(x\)〔m〕の点の遅れを入れる。
時刻 0 の位相が \(\phi\) なので，
\(y = \)\(A\sin(\omega t + \phi)\)
🎵 波源の単振動と同じく，\(t\) を遅れの分もどす。
\(t \;\to\; t - \dfrac{x}{v}\)
原点の式に入れると，\(\sin\) の中は，
\(\omega\left(t - \dfrac{x}{v}\right) + \phi\)
\(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\) を入れると，
\(\omega\left(t - \dfrac{x}{v}\right) + \phi\)\({}= \dfrac{2\pi}{T}\left(t - \dfrac{x}{v}\right) + \phi\)
\(\dfrac{1}{T}\) をかっこの中に掛けると，
\({}= 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{vT}\right) + \phi\)
\(vT = \lambda\) を使うと，
\({}= 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right) + \phi\)
図は，円の上の点の高さを写した，原点の \(y\)–\(t\) 図だ。
③ の位相を \(\sin\) の中に入れると，次の一般式になる（負の向きは \(x\) の前が \(+\)）。
\(\phi = 0\) なら，正弦波の式にもどる。\(\phi = \pi\) なら，原点は \(y = 0\) から下向きに始まり，上下が逆の波になる。
大学入試では，波数 \(k = \dfrac{2\pi}{\lambda}\)〔rad/m〕を使う問題もある。
位相は \(\lambda\)〔m〕進むごとに \(2\pi\) 遅れる。\(k\) は，1 m 進むごとの位相の遅れだ。
\(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\) とあわせると，正弦波の式は \(y = A\sin(\omega t - kx)\) と書ける。
媒質の速度を \(u\)〔m/s〕とする。\(u\) は，変位 \(y\) の時間変化の割合だ。位置 \(x\) を決めて，\(y\) を \(t\) で微分する（\(\phi = 0\)）。
$$ u = \dfrac{dy}{dt} $$ $$ {}= \dfrac{2\pi A}{T}\cos 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right) $$
\(\cos\) が \(\pm 1\) のとき，速さは最大の \(\dfrac{2\pi A}{T}\) になる。\(\cos\) が \(\pm 1\) になるのは \(\sin\) が 0，つまり変位が 0 の点だ。
時刻 0 の \(y\)–\(x\) 図と波の進む向きが与えられたときの，正弦波の式を立てる。
正の向きなら \(t - \dfrac{x}{v}\)，負の向きなら \(t + \dfrac{x}{v}\)。
| 時刻 0 の原点 | 原点の式 |
|---|---|
| \(y = 0\) から上へ | \(A\sin\omega t\) |
| 山（\(y = A\)）から | \(A\cos\omega t\) |
| \(y = 0\) から下へ | \(-A\sin\omega t\) |
| 谷（\(y = -A\)）から | \(-A\cos\omega t\) |
例：振幅 0.10 m・波長 4.0 m・周期 2.0 s の正弦波が正の向きに進み，時刻 0 に原点は山にある。
原点は山から始まるので \(\cos\) の形。
\(\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{2.0} = \pi\) なので，
\(y = 0.10\cos\pi t\)
速さは，
\(v = \dfrac{\lambda}{T} = \dfrac{4.0}{2.0} = 2.0\) m/s
正の向きなので，\(t\) をこう置きかえる。
\(t \;\to\; t - \dfrac{x}{2.0}\)
原点の式に入れると，
\(y = 0.10\cos\pi\left(t - \dfrac{x}{2.0}\right)\)
\(2\pi\) でくくって，正弦波の式の形にそろえると，
\(y = \)\(0.10\cos 2\pi\left(\dfrac{t}{2.0} - \dfrac{x}{4.0}\right)\)
文字で書けば \(y = A\cos 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x}{\lambda}\right)\)。負の向きなら \(t\) を \(t + \dfrac{x}{v}\) にする。
位置 \(x = d\) の媒質が \(y = A\sin\omega t\) で振動している。正の向きに進む波の式を立てる。
\(x = d\) より先の点は，遅れて同じ振動をする。
遅れ \(= \dfrac{x - d}{v}\)
\(x \lt d\) の点では，遅れが負になる（先に振動する）。
\(x = d\) の点の式の \(t\) から遅れを引くと，
\(y = A\sin\omega\left(t - \dfrac{x - d}{v}\right)\)
\(\omega\) と \(v\) を，\(T\) と \(\lambda\) で表すと，
\(y = \)\(A\sin 2\pi\left(\dfrac{t}{T} - \dfrac{x - d}{\lambda}\right)\)
\(d = 0\) なら，正弦波の式にもどる。2 点の位相の差（\(x = d\) の点のほうが進む）は，次のとおりだ。
位相の差 \(= 2\pi\dfrac{x - d}{\lambda}\)
反射波や，2 つの波源から出た波の式も，この形で立てる。基準の点からの遅れを，まず書く。
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